시험공부 용도 선형대수학 (벡터공간)

## 벡터 공간의 10가지 규칙 📜

벡터 공간은 **벡터의 집합(V)**과 두 가지 연산, 즉 **덧셈(⊕)**과 **스칼라 곱(⊙)**으로 이루어져 있습니다. 이 10가지 규칙은 크게 '덧셈에 관한 5가지 규칙'과 '스칼라 곱에 관한 5가지 규칙'으로 나뉩니다.

### 덧셈에 관한 5가지 규칙 (Axioms 1-5)

이 규칙들은 집합 안에서 덧셈이 얼마나 안정적이고 예측 가능하게 작동하는지를 보장합니다.

1. 덧셈에 대해 닫혀있다 (Closed under addition)
   • u ⊕ v는 집합 V 안에 있다.
   • 의미: 집합 V 안에 있는 두 벡터를 더한 결과는 반드시 다시 집합 V 안에 있어야 합니다. 덧셈을 통해 집합 밖으로 '탈출'할 수 없습니다.
2. 덧셈의 교환법칙 (Commutative)
   • u ⊕ v = v ⊕ u
   • 의미: 더하는 순서를 바꿔도 결과는 같습니다.
3. 덧셈의 결합법칙 (Associative)
   • (u ⊕ v) ⊕ w = u ⊕ (v ⊕ w)
   • 의미: 세 개 이상의 벡터를 더할 때, 어떤 쌍을 먼저 더하든 결과는 같습니다.
4. 덧셈에 대한 항등원 (Additive identity)의 존재
   • 집합 V 안에는 **영벡터(0)**가 존재해서, 모든 벡터 u에 대해 0 ⊕ u = u를 만족한다.
   • 의미: 더해도 아무런 변화를 주지 않는 '기준점' 같은 벡터가 반드시 있어야 합니다. 손글씨로 쓰신 것처럼 **"덧셈에 대한 항등원"**이 바로 이 영벡터입니다.
5. 덧셈에 대한 역원 (Additive inverse)의 존재
   • 모든 벡터 u에 대해, 더했을 때 영벡터를 만드는 짝꿍 벡터 -u가 반드시 존재한다. (u ⊕ (-u) = 0)
   • 의미: 모든 벡터는 자신의 '반대' 방향 벡터를 가지고 있습니다. 이 규칙 덕분에 우리는 뺄셈을 정의할 수 있습니다.

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### 스칼라 곱에 관한 5가지 규칙 (Axioms 6-10)

이 규칙들은 벡터를 늘리거나 줄이는 스칼라 곱셈이 어떻게 작동해야 하는지를 정의합니다.

1. 스칼라 곱에 대해 닫혀있다 (Closed under scalar multiplication)
   • c ⊙ u는 집합 V 안에 있다.
   • 의미: 집합 안의 어떤 벡터를 가져와 실수(스칼라)배를 해도, 그 결과는 절대 집합 밖으로 나가지 않습니다.
2. 분배법칙 1 (Distributive)
   • c ⊙ (u ⊕ v) = (c ⊙ u) ⊕ (c ⊙ v)
   • 의미: 벡터들을 먼저 더한 뒤 스칼라배를 하는 것과, 각각 스칼라배를 한 뒤 더하는 것은 결과가 같습니다. (c(u+v)=cu+cv)
3. 분배법칙 2 (Distributive)
   • (c + d) ⊙ u = (c ⊙ u) ⊕ (d ⊙ u)
   • 의미: 스칼라들을 먼저 더한 뒤 벡터에 곱하는 것과, 각각의 스칼라를 벡터에 곱한 뒤 더하는 것은 결과가 같습니다. ((c+d)u=cu+du)
4. 스칼라 곱의 결합법칙 (Associative)
   • c ⊙ (d ⊙ u) = (cd) ⊙ u
   • 의미: 여러 스칼라를 곱할 때, 어떤 순서로 곱하든 결과는 같습니다. (c(du)=(cd)u)
5. 곱셈에 대한 항등원 (Multiplicative identity)
   • 1 ⊙ u = u
   • 의미: 어떤 벡터든 스칼라 1을 곱하면 자기 자신이 그대로 나옵니다.

 

핵심은, 어떤 집합이 벡터 공간이 되려면 **10가지 규칙(공리)**을 모두 만족해야 한다는 것입니다. 하나라도 실패하면 벡터 공간이 될 수 없습니다.

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## 1. 벡터 공간의 표준 예시 (Examples 1 & 2)

이 페이지의 첫 두 예제는 벡터 공간의 가장 대표적인 사례들입니다.

• 예제 1 (Euclidean Vector Spaces): 우리가 흔히 아는 Rn 공간(화살표 벡터들의 집합)은 우리가 아는 일반적인 덧셈과 스칼라 곱셈에 대해 벡터 공간이 됩니다.
• 예제 2 (Vector Spaces of Matrices): 모든 m×n 행렬들의 집합 역시, 행렬의 성분별 덧셈과 스칼라 곱셈에 대해 벡터 공간이 됩니다. 이는 '벡터'라는 개념이 화살표뿐만 아니라 행렬까지 확장될 수 있음을 보여줍니다.

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## 2. 벡터 공간이 아닌 경우 (Example 3) 🚫

이것이 이 페이지의 핵심 문제입니다. 겉보기에는 간단해 보이지만, 정의된 연산 규칙이 특이해서 10가지 규칙 중 일부를 만족하지 못하는 경우입니다.

• 집합: V=R (모든 실수의 집합)
• 특이한 연산 규칙:
  • 덧셈: a⊕b=2a+2b
  • 스칼라 곱: k⊙a=ka (이건 일반적인 곱셈과 같습니다)

문제는 이 연산 규칙 하에서 덧셈의 교환법칙은 성립하지만, 결합법칙은 성립하지 않음을 보이라는 것입니다.

1. 교환법칙 (Commutative) 확인 - 성공 ✅

교환법칙이 성립하려면 a⊕b=b⊕a 여야 합니다.

• a⊕b=2a+2b
• b⊕a=2b+2a

일반 덧셈에서 2a+2b 와 2b+2a 는 같으므로, 교환법칙은 성립합니다. (손글씨로 '성립'이라고 쓰신 부분이 맞습니다.)

2. 결합법칙 (Associative) 확인 - 실패 ❌

결합법칙이 성립하려면 (a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c) 여야 합니다. 좌변과 우변을 각각 계산해 보겠습니다.

• 좌변: (a⊕b)⊕c
  1. 먼저 괄호 안의 a⊕b를 계산하면 2a+2b 입니다.
  2. 이제 $(2a+2b)$와 c를 새로운 덧셈 규칙으로 더합니다: (2a+2b)⊕c=2(2a+2b)+2c=4a+4b+2c
• 우변: a⊕(b⊕c)
  1. 먼저 괄호 안의 b⊕c를 계산하면 2b+2c 입니다.
  2. 이제 a와 $(2b+2c)$를 새로운 덧셈 규칙으로 더합니다: a⊕(2b+2c)=2a+2(2b+2c)=2a+4b+4c
• 비교: 좌변(4a+4b+2c)과 우변(2a+4b+4c)은 같지 않습니다.

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## 최종 결론 🎓

덧셈에 대한 결합법칙 (벡터 공간의 10가지 규칙 중 3번 규칙)이 성립하지 않기 때문에, 이 집합 V는 주어진 특이한 연산 규칙 하에서 벡터 공간이 아닙니다 (is not a vector space).

 

이 문제는 겉보기에는 평범한 2차원 벡터(R2) 같지만, 덧셈과 스칼라 곱의 규칙을 완전히 새롭게 정의했을 때에도 벡터 공간(Vector Space)의 10가지 규칙을 모두 만족하는지 확인하는 매우 좋은 예제입니다.

결론부터 말씀드리면, 이 집합 V는 주어진 특이한 연산 규칙 하에서 벡터 공간이 맞습니다.

핵심은 우리가 평소에 알던 '상식'을 버리고, 오직 문제에 주어진 새로운 규칙만을 사용해서 10가지 공리를 하나씩 확인하는 것입니다. 특히 영벡터와 역원을 찾는 과정이 중요합니다.

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## 문제 분석: 새로운 연산 규칙 📜

• 집합 V: 모든 2차원 순서쌍 (a, b)의 집합.
• 새로운 덧셈(⊕):(두 벡터를 더할 때, 각 성분에 1을 추가로 더합니다.)
• (v1​,v2​)⊕(w1​,w2​)=(v1​+w1​+1,v2​+w2​+1)
• 새로운 스칼라 곱(⊙):(스칼라배를 할 때, 각 성분에 c-1을 추가로 더합니다.)
• c⊙(v1​,v2​)=(cv1​+c−1,cv2​+c−1)

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## 핵심 공리(Axiom) 증명 과정

모든 10가지 규칙을 확인해야 하지만, 가장 중요하고 헷갈리는 것은 **영벡터(항등원)**와 역원을 찾는 것입니다.

1. 이 공간의 '영벡터'는 무엇인가? (Axiom 4: Additive Identity)

우리가 찾아야 할 영벡터를 $\mathbf{0} = (z_1, z_2)$라고 합시다. 영벡터의 정의는 어떤 벡터 $\mathbf{v}$에 더해도 v 자신을 변화시키지 않는 것입니다. 즉, v⊕0=v 여야 합니다.

새로운 덧셈 규칙을 이용해 이 식을 풀어보면,

(v1​,v2​)⊕(z1​,z2​)=(v1​+z1​+1,v2​+z2​+1)

이 결과가 원래 벡터 $(v_1, v_2)$와 같아야 합니다. 따라서 각 성분을 비교하면,

• v1​+z1​+1=v1​⟹z1​=−1
• v2​+z2​+1=v2​⟹z2​=−1

따라서 이 벡터 공간의 영벡터는 $(0, 0)$이 아니라 (−1,−1) 입니다!

2. 모든 벡터는 '역원'을 가지는가? (Axiom 5: Additive Inverse)

모든 벡터 $\mathbf{v} = (v_1, v_2)$에 대해, 그 역원 $-\mathbf{v} = (w_1, w_2)$를 더했을 때 방금 구한 **영벡터 (−1,−1)**이 나와야 합니다. 즉, v⊕(−v)=(−1,−1) 입니다.

새로운 덧셈 규칙을 이용해 이 식을 풀어보면,

(v1​,v2​)⊕(w1​,w2​)=(v1​+w1​+1,v2​+w2​+1)

이 결과가 영벡터 $(-1, -1)$과 같아야 합니다.

• v1​+w1​+1=−1⟹w1​=−v1​−2
• v2​+w2​+1=−1⟹w2​=−v2​−2

따라서 벡터 $(v_1, v_2)$의 역원은 (−v1​−2,−v2​−2) 입니다. 모든 벡터 $\mathbf{v}$에 대해 그 역원이 항상 존재함을 확인했습니다.

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## 나머지 규칙들

• 닫혀있는가? (Axioms 1, 6): 덧셈과 스칼라 곱의 결과는 모두 순서쌍 (실수, 실수) 형태이므로, 집합 V 안에 머무릅니다. (성립)
• 교환/결합/분배 법칙 등 (Axioms 2, 3, 7, 8, 9, 10): 이 규칙들도 모두 성립합니다. 예를 들어 교환법칙을 보면,
  • (v1​,v2​)⊕(w1​,w2​)=(v1​+w1​+1,v2​+w2​+1)
  • (w1​,w2​)⊕(v1​,v2​)=(w1​+v1​+1,w2​+v2​+1)
  • 일반 덧셈은 교환법칙이 성립하므로 위 두 결과는 같습니다. (성립)

## 최종 결론 🎓

주어진 집합 V와 두 개의 특이한 연산은 벡터 공간의 10가지 규칙을 모두 만족하므로, V는 벡터 공간이 맞습니다.

이 문제는 '벡터 공간'이라는 개념이 얼마나 추상적이고 강력한지를 보여줍니다. 덧셈과 곱셈의 규칙만 잘 정의되면, 우리가 상상하지 못했던 형태의 영벡터와 역원을 가지는 새로운 '공간'을 만들어낼 수 있습니다.

 

 

 

이 페이지에 있는 벡터 공간의 두 가지 기본 정리를 명확하게 풀어 설명해 드리겠습니다. 이 정리들은 벡터 공간의 '상식'과도 같은 기본 규칙들을 증명하는 과정입니다.

## 정리 1: 덧셈에 대한 역원은 유일하다

"벡터 공간 V에서, 모든 벡터의 덧셈에 대한 역원(additive inverse)은 유일하다(unique)."

• 쉬운 설명 🤔: 어떤 벡터 u가 있을 때, u에 더해서 영벡터(0)를 만드는 짝꿍 벡터(-u)는 세상에 딱 하나뿐이라는 뜻입니다. 마치 숫자 5에 더해서 0을 만드는 숫자가 -5 하나뿐인 것과 같습니다.
• 증명 과정 👣:
  1. 가정: 만약 u의 역원이 v와 w, 이렇게 두 개라고 가정해 봅시다. (증명의 목표는 결국 v와 w가 사실 같은 벡터임을 보이는 것입니다.)
     • 즉, u ⊕ v = 0 이고 u ⊕ w = 0 입니다.
  2. 시작: v에서 시작합니다. 벡터 공간 규칙 4번(항등원)에 의해, v는 v ⊕ 0와 같습니다.
  3. v=v⊕0
  4. 치환: 위 가정에서 u ⊕ w = 0 이므로, 0 대신 u ⊕ w를 대입합니다.
  5. v=v⊕(u⊕w)
  6. 재결합: 벡터 공간 규칙 3번(결합법칙)을 이용해 괄호의 위치를 바꿉니다.
  7. v=(v⊕u)⊕w
  8. 다시 치환: 처음 가정에서 v도 u의 역원이었으므로 v ⊕ u = 0 입니다. (v oplus u)를 0으로 바꿉니다.
  9. v=0⊕w
  10. 마무리: 벡터 공간 규칙 4번(항등원)에 의해, 0 ⊕ w는 그냥 w입니다.
  11. v=w
  12. 결론: v로 시작했는데 w로 끝났습니다. 따라서 v와 w는 같은 벡터였던 것입니다. 즉, 역원은 유일합니다.

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## 정리 2: 영벡터와 스칼라 곱의 기본 성질

이 정리는 벡터 공간의 10가지 기본 규칙으로부터 유도할 수 있는 4가지 '당연해 보이는' 성질들을 나열합니다.

1. 0u = 0
   • 의미: 숫자 0을 어떤 벡터 u에 곱하면, 그 결과는 영벡터 0이 됩니다.
2. c0 = 0
   • 의미: 어떤 숫자 c를 영벡터 0에 곱하면, 그 결과는 영벡터 0이 됩니다.
3. (-1)u = -u
   • 의미: 숫자 -1을 벡터 u에 곱하면, 그 결과는 u의 **덧셈에 대한 역원(-u)**과 같습니다. 즉, 벡터의 방향을 정반대로 뒤집는 것과 같습니다.
4. 만약 cu = 0 이면, c = 0 또는 u = 0 이다.
   • 의미: 숫자와 벡터를 곱한 결과가 영벡터가 되었다면, 둘 중 하나는 반드시 0이어야 합니다. (숫자가 0이었거나, 벡터가 영벡터였거나) 이는 일반 대수학의 인수분해 원리(ab=0 이면 a=0 또는 b=0)와 매우 유사합니다.

 

 

**벡터 공간(Vector Space)**의 정의와 관련된 핵심 사실들을 3가지로 요약한 것입니다. 각 항목을 명확하게 풀어 설명해 드릴게요.

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## 1. 벡터 공간인지 확인하는 방법

1. 어떤 집합 V가 주어진 덧셈과 스칼라 곱 연산에 대해 벡터 공간인지를 판별하려면, **10가지 벡터 공간 공리(규칙)**를 모두 만족하는지 확인해야 한다.

이것은 어떤 집합이 '벡터 공간'이라는 자격을 얻기 위한 유일한 시험입니다. 겉보기에 벡터처럼 보인다고 해서 벡터 공간이 되는 것이 아니라, 덧셈과 스칼라 곱에 대해 정의된 10가지 규칙을 하나도 빠짐없이 통과해야만 합니다. 하나라도 실패하면 벡터 공간이 아닙니다.

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## 2. 벡터 공간의 대표적인 예시들 🌟

1. 유클리드 공간 Rⁿ, 행렬 집합 Mₘₓₙ, 그리고 n차 이하의 다항식 집합 Pₙ은 모두 표준적인 연산에 대해 벡터 공간이다.

이것은 우리가 앞으로 계속 마주칠 벡터 공간의 가장 중요한 세 가지 예시입니다. '벡터'라는 개념이 단순히 화살표에만 국한되지 않는다는 것을 보여줍니다.

• 유클리드 공간 (Rⁿ): 우리가 흔히 생각하는 (x, y)나 (x, y, z) 같은 좌표 또는 화살표 벡터들의 집합입니다.
• 행렬 (Mₘₓₙ): 같은 크기(m x n)의 모든 행렬들의 집합 역시, 성분별 덧셈과 스칼라 곱에 대해 벡터 공간을 이룹니다.
• 다항식 (Pₙ): 특정 차수(n) 이하의 모든 다항식들의 집합도 벡터 공간입니다. (예: 모든 2차 이하 다항식의 집합)

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## 3. 모든 벡터 공간에서 성립하는 기본 성질

1. 모든 벡터 공간에서 덧셈에 대한 역원은 유일하다. 또한 0u = 0, c0 = 0, (-1)u = -u가 성립한다. 추가로, cu = 0이면 c=0 또는 u=0이다.

이것들은 10가지 기본 규칙으로부터 자연스럽게 파생되는 '상식'과 같은 속성들입니다.

• 역원의 유일성: 어떤 벡터 u에 더해서 영벡터를 만드는 짝꿍(-u)은 세상에 단 하나뿐입니다.
• 0의 역할:
  • 0**u** = **0**: 숫자 0을 어떤 벡터에 곱하면 영벡터가 됩니다.
  • c**0** = **0**: 영벡터에 어떤 숫자를 곱해도 영벡터가 됩니다.
  • (-1)**u** = -**u**: 숫자 -1을 벡터에 곱하면 그 벡터의 역원이 됩니다.
• 영인자 정리: 숫자와 벡터를 곱한 결과가 영벡터가 되었다면, 둘 중 하나는 반드시 0이어야 합니다 (숫자가 0이었거나, 벡터가 영벡터였거나).